1.1 非负矩阵分解
（ Non-negative Matrix Factorization ， NMF ）：是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。
1.2 基本思想
给定一个非负矩阵 V ， NMF 能够找到一个非负矩阵 W 和一个非负矩阵H ，使得矩阵 W 和 H 的乘积近似等于矩阵 V 中的值。
1.3 W矩阵
基础图像矩阵，相当于从原矩阵V 中抽取出来的特征。
1.4 H矩阵
系数矩阵。NMF能够广泛应用于图像分析、文本挖掘和语音处理等领域。
上图摘自 NMF 作者的论文， 左侧 为 W矩阵 ，可以看出从原始图像中抽取出来的 特征 ， 中间 的
是 H矩阵 。可以发现乘积结果与原结果是很像的。
2 矩阵分解优化目标
最小化 W 矩阵 H 矩阵的乘积和原始矩阵之间的差别，目标函数如下：
基于 KL 散度的优化目标，损失函数如下：
(公式的推导略)
3 案例
**目标：**已知Olivetti人脸数据共400个，每个数据是64*64大小。由于NMF分解得到的 W矩阵相
当于从原始矩阵中提取的特征 ，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。
通过设置k的大小，设置提取的特征的数目。在本实验中设置k=6，随后将提取的特征以图像的形式展示出来。
4 代码实现（Python）
在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.NMF加载NMF算法，主要参数有：
• n_components：用于指定分解后矩阵的单个维度k；
• init：W矩阵和H矩阵的初始化方式，默认为‘nndsvdar’。
4.1 代码
#1. 建立工程，导入sklearn相关工具包：=
from numpy.random import RandomState #加载RandomState用于创建随机种子
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces #加载Olivetti人脸数据集导入函数
from sklearn import decomposition #加载PCA算法包
from pylab import *
import matplotlib; matplotlib.use(‘TkAgg’)
mpl.rcParams[‘font.sans-serif’] = [‘SimHei’]
mpl.rcParams[‘axes.Unicode_minus’] = False
#==2. 设置基本参数并加载数据：=
n_row, n_col = 2, 3 #设置图像展示时的排列情况，如右图
n_components = n_row * n_col #设置提取的特征的数目
image_shape = (64, 64) #设置人脸数据图片的大小
#=3.下载人脸数据:============
dataset = fetch_olivetti_faces(shuffle=True, random_state=RandomState(0)) #加载数据，并打乱顺序
faces = dataset.data #加载数据，并打乱顺序
#=4. 设置图像的展示方式:======
def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):
plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) #创建图片，并指定图片大小（英寸）
plt.suptitle(title, size=16) #设置标题及字号大小
for i, comp in enumerate(images):
plt.subplot(n_row, n_col, i + 1) #选择画制的子图
vmax = max(comp.max(), -comp.min())
#对数值归一化，并以灰度图形式显示
plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,
interpolation=‘nearest’, vmin=-vmax, vmax=vmax)
plt.xticks(()) #去除子图的坐标轴标签
plt.yticks(())
plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.) #对子图位置及间隔调整
plot_gallery(“首先是奥利维蒂的脸”, faces[:n_components])
#===5.创建特征提取的对象NMF，使用PCA作为对比：
estimators = [
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