实验四：遗传算法求函数最大值实验
实验目的
熟悉和掌握遗传算法的原理、流程和编码策略，并利用遗传算法求解函数优化问题，理解求解流程并测试主要参数对结果的影响。
实验内容
采用遗传算法求解函数最大值。
实验要求
1. 用遗传算法求解下列函数的最大值，设定求解精度到15位小数。
（1）给出适应度函数(Fitness Function)代码。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42)
# 目标函数
def objective_function(x, y):
return ((6.452 * (x + 0.125 * y) * (np.cos(x) - np.cos(2 * y)) ** 2) / np.sqrt(
(0.8 + (x - 4.2) ** 2 + 2 * (y - 7)) ** 2)) + 3.226 * y
# 适应度函数
def fitness_function(x, y):
return -objective_function(x, y)
（2）给出最佳适应度(best fitness)和最佳个体(best individual)图。
（3）使用相同的初始种群，设置不同的种群规模，如5、20和100，初始种群的个体取值范围为[0,10]，其他参数同表1，然后求得相应的最佳适应度、平均适应度和最佳个体，填入表2，分析种群规模对算法性能的影响。
（4）设置种群规模为20，初始种群的个体取值范围为[0,10]，选择不同的选择操作、交叉操作和变异操作，其他参数同表1，然后独立运行算法10次，完成表3，并分析比较采用不同的选择策略、交叉策略和变异策略的算法运行结果。
表1 遗传算法参数选择
![| 编码 | 编码方式 | 实数编码 |
| ---- | -------- | -------- |
| 种群参数 | 种群规模(population size) | |
| | 初始种群的个体取值范围(initial range) | [0, 10] |
| 选择操作 | 个体选择概率分配策略(fitness scaling) | 将适应度值映射到概率空间上，采用倒数变换对适应度值进行缩放 |
| | 个体选择方法(selection function) | 轮盘赌选择方法 |
| 最佳个体保存 | 优良个体保存数量(elite count) | 每一代只保留最佳个体一个 |
| 交叉操作 | 交叉概率(crossover fraction) | 0.8 |
| | 交叉方式(crossover function) | 单点交叉 |
| 变异操作 | 变异方式(mutation function) | 均匀变异 |
| 停止参数 | 最大迭代步数(generations) | 100 |
| | 最大运行时间限制(time limit) | |
| | 最小适应度限制(fitness limit) | |
| | 停滞代数(stall generations) | 10 |
| | 停滞时间限制(stall time limit) | |](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/ca6e27ce5ba94161bdedf88f4ce5e9f2.png)
表2 不同的种群规模的GA运行结果
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 目标函数
def objective_function(x, y):
return ((6.452 * (x + 0.125 * y) * (np.cos(x) - np.cos(2 * y)) ** 2) / np.sqrt(
(0.8 + (x - 4.2) ** 2 + 2 * (y - 7)) ** 2)) + 3.226 * y
# 适应度函数
def fitness_function(x, y):
return -objective_function(x, y)
# 遗传算法框架
def genetic_algorithm(population_size, generations, crossover_rate, mutation_rate, search_range):
# 初始化种群
population = np.random.uniform(low=search_range[0], high=search_range[1], size=(population_size, 2))
best_fitness_history = []
best_individual_history = []
for generation in range(generations):
# 计算适应度
fitness_values = np.array([fitness_function(x, y) for x, y in population])
# Check for NaN values and handle them
if np.isnan(fitness_values).any() or np.ptp(fitness_values) == 0:
print(f"Warning: Invalid fitness values encountered in generation {generation}.")
break
# 选择操作：使用适应度函数正规化版本作为选择概率
normalized_fitness = (fitness_values - np.min(fitness_values)) / (
np.max(fitness_values) - np.min(fitness_values))
# Check for NaN values after normalization
if np.isnan(normalized_fitness).any():
print(f"Warning: NaN values encountered in normalized fitness in generation {generation}.")
break
# Continue with the selection operation
selection_probabilities = normalized_fitness / np.sum(normalized_fitness)
# 修正选择操作
selected_indices = np.random.choice(np.arange(len(population)), size=population_size, replace=True,
p=selection_probabilities)
selected_population = population[selected_indices]
# 交叉操作：单点交叉
crossover_indices = np.random.choice(population_size, size=population_size // 2, replace=False)
crossover_pairs = selected_population[crossover_indices]
crossover_points = np.random.rand(population_size // 2, 1)
# 修正交叉操作
crossover_offspring = np.zeros_like(crossover_pairs)
for i in range(crossover_pairs.shape[0]):
crossover_offspring[i] = crossover_pairs[i, 0] * (1 - crossover_points[i]) + crossover_pairs[i, 1] * \
crossover_points[i]
# 变异操作：均匀变异
mutation_mask = np.random.rand(population_size, 2)
种群规模: 5
最佳适应度: -3.459847944541263
平均适应度: -10.320198206011602
最佳个体: [0.62975422 0.62975422]
种群规模: 20
最佳适应度: 0.6871155254100445
平均适应度: -2.9636119559269036
最佳个体: [-0.21263061 -0.21263061]
种群规模: 100
最佳适应度: 0.21963356289505687
平均适应度: -6.572041991467105
最佳个体: [-0.06808081 -0.06808081]
表2 不同的种群规模的GA运行结果
种群规模 最佳适应度 平均适应度 最佳个体
5 -3.459847944541263 -10.320198206011602 [0.62975422 0.62975422]
20 0.6871155254100445 -2.9636119559269036 [-0.21263061 -0.21263061]
100 0.21963356289505687 -6.572041991467105 [-0.06808081 -0.06808081]
表3 不同的选择策略、交叉策略和变异策略的算法运行结果
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 目标函数
def objective_function(x, y):
return ((6.452 * (x + 0.125 * y) * (np.cos(x) - np.cos(2 * y)) ** 2) / np.sqrt(
(0.8 + (x - 4.2) ** 2 + 2 * (y - 7)) ** 2)) + 3.226 * y
# 适应度函数
def fitness_function(x, y):
return objective_function(x, y)
# 遗传算法框架
def genetic_algorithm(population_size, generations, crossover_rate, mutation_rate, search_range):
# 初始化种群
population = np.random.uniform(low=search_range[0], high=search_range[1], size=(population_size, 2))
best_fitness_history = []
best_individual_history = []
for generation in range(generations):
# 计算适应度
fitness_values = np.array([fitness_function(x, y) for x, y in population])
# Check for NaN values and handle them
if np.isnan(fitness_values).any() or np.ptp(fitness_values) == 0:
print(f"Warning: Invalid fitness values encountered in generation {generation}.")
break
# 选择操作：使用适应度函数正规化版本作为选择概率
normalized_fitness = (fitness_values - np.min(fitness_values)) / (
np.max(fitness_values) - np.min(fitness_values))
# Check for NaN values after normalization
if np.isnan(normalized_fitness).any():
print(f"Warning: NaN values encountered in normalized fitness in generation {generation}.")
break
# Continue with the selection operation
selection_probabilities = normalized_fitness / np.sum(normalized_fitness)
# 修正选择操作
selected_indices = np.random.choice(np.arange(len(population)), size=population_size, replace=True,
p=selection_probabilities)
selected_population = population[selected_indices]
# 交叉操作：单点交叉
crossover_indices = np.random.choice(population_size, size=population_size // 2, replace=False)
crossover_pairs = selected_population[crossover_indices]
crossover_points = np.random.rand(population_size // 2, 1)
# 修正交叉操作
crossover_offspring = np.zeros_like(crossover_pairs)
for i in range(crossover_pairs.shape[0]):
crossover_offspring[i] = crossover_pairs[i, 0] * (1 - crossover_points[i]) + crossover_pairs[i, 1] * \
crossover_points[i]
# 变异操作：均匀变异
mutation_mask = np.random.rand(population_size, 2)
最好适应度 7594.27 15782.25 3339.39 1474.26
最差适应度 268.94 439.60 193.71 306.33
平均适应度 4335.11 2712.38 769.43 1057.48
2、用遗传算法求解下面Rastrigin函数的最小值，设定求解精度到15位小数。
（1）给出适应度函数代码。
（2）设计上述问题的编码、选择操作、交叉操作、变异操作以及控制参数等，填入表4，并画出最佳适应度和最佳个体图。
import time
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# Rastigrin函数
def rastrigin_function(x1, x2):
return -(20 + x1**2 + x2**2 - 10 * (np.cos(2 * np.pi * x1) + np.cos(2 * np.pi * x2)))
# 遗传算法框架
def genetic_algorithm(population_size, generations, crossover_rate, mutation_rate, search_range, time_limit=None, fitness_limit=None, stall_generations=None, stall_time_limit=None):
population = np.random.uniform(low=search_range[0], high=search_range[1], size=(population_size, 2))
best_fitness_history = []
best_individual_history = []
start_time = time.time()
prev_best_fitness = None
stall_count = 0
for generation in range(generations):
fitness_values = np.array([rastrigin_function(x[0], x[1]) for x in population])
best_index = np.argmin(fitness_values)
best_fitness = fitness_values[best_index]
best_individual = population[best_index]
best_fitness_history.append(best_fitness)
best_individual_history.append(best_individual)
# 判断是否终止算法
if time_limit is not None and time.time() - start_time > time_limit:
print("Time limit reached.")
break
if fitness_limit is not None and best_fitness = 0:
print("Stall time limit reached.")
break
# 选择操作
selection_probabilities = 1 / (fitness_values - np.min(fitness_values) + 1e-10)
selection_probabilities /= np.sum(selection_probabilities)
selected_indices = np.random.choice(np.arange(len(population)), size=population_size, replace=True, p=selection_probabilities)
selected_population = population[selected_indices]
# 交叉操作
crossover_indices = np.random.choice(population_size, size=population_size // 2, replace=False)
crossover_pairs = selected_population[crossover_indices]
crossover_points = np.random.rand(population_size // 2, 1)
crossover_offspring = np.zeros_like(crossover_pairs)
for i in range(crossover_pairs.shape[0]):
crossover_offspring[i] = crossover_pairs[i, 0] * (1 - crossover_points[i]) + crossover_pairs[i, 1] * crossover_points[i]
# 变异操作
mutation_mask = np.random.rand(population_size // 2, 2)
表4 遗传算法参数选择
Best fitness: -64.62411370180945
Best individual: [3.51645639 3.51645639]
【实验思考及实践】
实验心得体会
遗传算法的基本思想： 遗传算法是一种启发式优化算法，其基本思想来源于自然界的进化过程，包括选择、交叉和变异等基本操作。在实验中，这些操作的合理设计对算法的性能至关重要。
适应度函数的设计： 适应度函数的选择直接影响算法的收敛性和准确性。在实验中，对于每个具体的问题，需要仔细设计适应度函数，使其能够准确反映问题的优劣。
种群规模的影响： 通过实验，可以观察到不同的种群规模对算法性能的影响。较小的种群规模可能导致算法陷入局部最优解，而较大的种群规模可能提高全局搜索能力，但也会增加计算成本。
选择策略、交叉策略和变异策略的比较： 实验中设计了不同的选择策略、交叉策略和变异策略，并进行了比较。结果表明，不同的策略组合对算法性能有着显著的影响，这强调了在实际问题中选择合适的操作的重要性。
实验结果的分析： 在观察实验结果时，需要结合问题的特点和算法设置进行深入分析。了解最佳适应度、最佳个体以及平均适应度的变化趋势，有助于理解算法的优势和局限性。
调整参数的灵活性： 在实际应用中，调整遗传算法的参数通常需要一定的经验和灵活性。根据实验结果，可以调整参数以提高算法性能，例如调整交叉率、变异率和种群规模等。
图形化展示： 通过绘制适应度曲线和个体分布图，可以直观地观察算法的收敛过程和搜索路径，有助于更好地理解算法的运行情况。
当然，下面是按照大纲填充的具体内容：
遗传算法介绍
简介
遗传算法（Genetic Algorithm，简称GA）是一种基于模拟自然进化过程的优化算法。它是由美国科学家约翰·霍兰德（John Holland）在20世纪70年代提出的。
基本原理
遗传算法的基本原理包括以下几个要素：
个体表示
遗传算法中的个体被抽象为基因组合的表示形式，通常用二进制编码或浮点数编码来表示。
适应度函数
适应度函数用于评估个体的适应度，它衡量了个体在解决问题中的优劣程度。
选择操作
选择操作根据个体的适应度，选择一部分个体作为父代，用于生成下一代个体。
交叉操作
交叉操作是指将选中的父代个体的基因进行交叉组合，生成新的子代个体。交叉操作的目的是产生具有多样性的后代个体。
变异操作
变异操作是对子代个体的基因进行随机变异，以增加种群的多样性。变异操作的目的是引入新的基因组合，以探索搜索空间。
算法流程
遗传算法的基本流程如下：
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初始化种群：随机生成一组候选解作为初始种群。
-
评估适应度：根据问题的评价准则，计算每个个体的适应度。
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选择操作：根据个体的适应度，选择一部分个体作为父代。
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交叉操作：通过交叉操作，将选中的父代个体的基因进行交叉组合，生成新的子代个体。
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变异操作：对子代个体的基因进行随机变异，以增加种群的多样性。
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更新种群：将父代和子代个体合并，形成新的种群。
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重复执行步骤2-6，直到满足终止条件（如达到预定的迭代次数或找到满意的解）。
特点与优点
遗传算法具有以下特点与优点：
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并行性：多个个体可以同时进行评估和操作，提高了算法的效率。
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自适应性：通过自然选择和变异操作，遗传算法具有自适应的能力，能够适应环境的变化。
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随机性：遗传算法中的选择、交叉和变异等操作都具有一定的随机性，能够避免陷入局部最优解。
-
全局搜索能力：由于遗传算法的随机性和自适应性，它可以在整个搜索空间中进行全局搜索，从而找到较好的解。
应用领域
遗传算法在以下领域有着广泛的应用：
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函数优化：通过遗传算法可以在复杂的搜索空间中寻找函数的最优解。
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组合优化：遗传算法可以用于求解诸如旅行商问题、背包问题等组合优化问题。
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旅行商问题：遗传算法可以用于求解旅行商问题，找到最短路径。
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其他问题：遗传算法还可以应用于工程设计、机器学习、预测建模、调度问题等。它在各种领域中都能发挥优秀的搜索和优化能力。
算法改进
为了提高遗传算法的性能和效果，人们对其进行了一系列的改进和优化。以下是一些常见的算法改进方法：
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参数调节：通过合理设置遗传算法的参数，如种群大小、交叉率、变异率等，可以提高算法的性能。
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操作策略优化：对选择、交叉和变异等操作的策略进行优化，如采用更好的选择策略、交叉方式和变异方式，以提高算法的搜索能力。
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多种群算法：将种群划分为多个子种群，并在每个子种群中执行独立的遗传算法操作，可以增加种群的多样性，加快收敛速度。
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遗传算法与其他算法的结合：将遗传算法与其他优化算法，如模拟退火算法、粒子群优化算法等结合使用，可以充分利用各个算法的优点，提高解的质量和搜索效率。
总结
遗传算法是一种基于模拟自然进化过程的优化算法。它通过个体的基因表示、适应度函数评估、选择、交叉和变异等操作，模拟了生物进化的过程，并通过不断的迭代和进化找到问题的较优解。遗传算法具有并行性、自适应性、随机性和全局搜索能力等优点，在函数优化、组合优化、旅行商问题等领域有着广泛的应用。通过算法改进和与其他算法的结合，遗传算法的性能和效果可以进一步提升。
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