复习--------范数

复习--范数

• 范数
• • 范数和赋范矢量空间的认识
  • 范数赋范矢量空间的数学定义
  • 向量范数的数学定义
  • 矩阵范数的数学定义
  • 函数范数的数学定义
  • 例子：

    范数

    范数和赋范矢量空间的认识

    范数是一个具有“长度”概念的函数。在线性代数、范函分析及相关的数学领域里，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。

    范数赋范矢量空间的数学定义

    f ∈ S 若存在唯一实数 ∥ ⋅ ∥ f \in S 若存在唯一实数 \LVert \Cdot \rVert f∈S若存在唯一实数∥⋅∥满足

    1. 正定性： f ≥ 0 , 当且仅当 f = 0 ， ∥ f ∥ = 0 f \geq 0 ,当且仅当 f = 0， \lVert f \rVert = 0 f≥0,当且仅当f=0，∥f∥=0
    2. 其次性： ∀ a ∈ R ， ∥ a f ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ f ∥ \forall a \in R ，\lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert ∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
    3. 三角不等式： ∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ + ∥ g ∥ ， f , g ∈ S \lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert + \lVert g \rVert ， f,g \in S ∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥，f,g∈S

       则称 ∥ ⋅ ∥ ，是线性空间 S 上的范数，线性空间 S 则称为赋范线性空间。 则称\lVert \cdot \rVert，是线性空间 S 上的范数，线性空间 S 则称为赋范线性空间。 则称∥⋅∥，是线性空间S上的范数，线性空间S则称为赋范线性空间。

    向量范数的数学定义

    R n 空间的向量范数 ∥ ⋅ ∥ 指的是一个 R n → R 的函数，对任意的 x , y ∈ R n 满足下列条件 R^n 空间的向量范数 \lVert \cdot \rVert 指的是一个 R^n \to R 的函数，对任意的 x, y \in R^n 满足下列条件 Rn空间的向量范数∥⋅∥指的是一个Rn→R的函数，对任意的x,y∈Rn满足下列条件

    1. ∥ x ∥ ≥ 0 , ∥ x ∥ = 0 当且仅当 x = 0 （正定性） \lVert x \rVert \geq 0, \lVert x \rVert = 0 当且仅当 x = 0（正定性） ∥x∥≥0,∥x∥=0当且仅当x=0（正定性）
    2. ∥ a x ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ x ∥ ， ∀ a ∈ R （其次性） \lVert a x \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert x \rVert，\forall a \in R （其次性） ∥ax∥=∣a∣⋅∥x∥，∀a∈R（其次性）
    3. ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ （三角不等式） \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert （三角不等式） ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥（三角不等式）

    集中常见的向量范数

    1. 向量的 ∞ − 范数： ∥ x ∥ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ 向量的\infty-范数：\lVert x \rVert_\infty = \operatorNAME*{max}_{1 \leq i \leq n}{\lvert x_i \rvert} 向量的∞−范数：∥x∥∞​=1≤i≤nmax​∣xi​∣
    2. 向量的 1 − 范数： ∥ x ∥ i = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 向量的1- 范数：\lVert x \rVert_i = \sum_{i=1}^{n}{\lvert x_i \rvert} 向量的1−范数：∥x∥i​=i=1∑n​∣xi​∣
    3. 向量的 2 − 范数： ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n x 2 ) 1 2 向量的2- 范数：\lVert x \rVert_2 = (\sum_{i=1}^{n}{x^2})^{\frac{1}{2}} 向量的2−范数：∥x∥2​=(i=1∑n​x2)21​
    4. 向量的 p − 范数： ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x ∣ p ) 1 p 向量的p- 范数：\lVert x \rVert_p = (\sum_{i=1}^{n}{\lvert x \rvert^p})^{\frac{1}{p}} 向量的p−范数：∥x∥p​=(i=1∑n​∣x∣p)p1​

    矩阵范数的数学定义

    如果矩阵 A ∈ R m × n 的某个非负的实值函数 ∥ ⋅ ∥ 满足： 如果矩阵 A \in R^{m \times n} 的某个非负的实值函数\lVert \cdot \rVert 满足： 如果矩阵A∈Rm×n的某个非负的实值函数∥⋅∥满足：

    1. 正定性： ∥ A ∥ ≥ 0 , ∥ A ∥ = 0 但且仅当 A = O \lVert A \rVert \geq 0, \lVert A \rVert = 0但且仅当 A = O ∥A∥≥0,∥A∥=0但且仅当A=O
    2. 其次性： ∥ a A ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ A ∥ ，对任意的 a ∈ R \lVert a A \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert A \rVert，对任意的a \in R ∥aA∥=∣a∣⋅∥A∥，对任意的a∈R
    3. 三角不等式： ∥ A + B ∥ ≤ ∥ A ∥ + ∥ B ∥ \lVert A + B \rVert \leq \lVert A \rVert + \lVert B \rVert ∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥
    4. 相容性： ∥ A B ∥ ≤ ∥ A ∥ ∥ B ∥ \lVert A B \rVert \leq \lVert A \rVert \lVert B \rVert ∥AB∥≤∥A∥∥B∥

       则称 ∥ ⋅ ∥ 是一个矩阵范数 则称\lVert \cdot \rVert 是一个矩阵范数 则称∥⋅∥是一个矩阵范数

    函数范数的数学定义

    在连续函数空间 C [ a , b ] 中范数的定义为： 在连续函数空间C[a, b]中范数的定义为： 在连续函数空间C[a,b]中范数的定义为：

    在函数空间 C [ a , b ] 中， f ∈ C [ a , b ] ，若存在唯一实数 ∥ ⋅ ∥ 满足： 在函数空间C[a, b] 中， f \in C[a, b]，若存在唯一实数\lVert \cdot \rVert 满足： 在函数空间C[a,b]中，f∈C[a,b]，若存在唯一实数∥⋅∥满足：

    1. 正定性： ∥ f ∥ ≥ 0 ，当且仅当 f = 0 时， ∥ f ∥ = 0 \lVert f \rVert \geq 0，当且仅当 f = 0时，\lVert f \rVert = 0 ∥f∥≥0，当且仅当f=0时，∥f∥=0
    2. 其次性： ∀ a ∈ R ， ∥ a f ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ f ∥ \forall a \in R， \lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert ∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
    3. 三角不等式： ∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ ⋅ ∥ g ∥ ， f , g ∈ C [ a , b ] \lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert \cdot \lVert g \rVert，f,g \in C[a, b] ∥f+g∥≤∥f∥⋅∥g∥，f,g∈C[a,b]

    常见的函数范数：

    1. 函数的 ∞ − 范数： ∥ f ∥ ∞ = max ⁡ a