匹配算法之匈牙利算法详解-慈云数据

参考：

算法学习笔记(5)：匈牙利算法
漫谈匈牙利算法
匈牙利算法、KM算法
匈牙利算法（二分图）
通俗易懂小白入门）二分图最大匹配——匈牙利算法
多目标跟踪之数据关联（匈牙利匹配算法和KM算法）
【小白学习笔记】（一）目标跟踪-匈牙利匹配

一、匈牙利算法基本概念

匈牙利算法（Hungarian algorithm），即图论中寻找最大匹配的算法，暂不考虑加权的最大匹配（用KM算法实现）。
匈牙利算法（Hungarian algorithm），主要用于解决一些与二分图匹配有关的问题。
1. 二分图
- 二分图是图论中的一种特殊模型。若能将无向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为一个为二分图。
- 二分图（Bipartite graph）是一类特殊的图，它可以被划分为两个部分，每个部分内的点互不相连。下图是典型的二分图。
  可以看到，在上面的二分图中，每条边的端点都分别处于点集X和Y中。
  2. 匹配
  - 图G的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。
    这里，我们用一个图来表示下匹配的概念：
    如图所示，其中的三条边即该图的一个匹配。所以，匹配的两个重点：1. 匹配是边的集合；2. 在该集合中，任意两条边不能有共同的顶点。
    那么，我们自然而然就会有一个想法，一个图会有多少匹配？有没有最大的匹配（即边最多的匹配呢）？
    3. 最大匹配
    - 选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。最大匹配的边数称为最大匹配。
      4. 完美匹配
      - 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完美匹配（完全匹配），也称作完备匹配。
      - 考虑部集为X={x1 ,x2, …}和Y={y1, y2, …}的二分图，一个完美匹配就是定义从X-Y的一个双射，依次为x1, x2, … xn找到配对的顶点，最后能够得到 n！个完美匹配。
        5. 最优匹配
        
        最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。
        一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。
        6. 最小覆盖
        
        二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：
        
        ①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联，二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数；
        
        ②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数；
        
        7. 最大独立集
        
        最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说：最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。
        8. 交替路
        
        从未匹配点出发，依次经过未匹配的边和已匹配的边，即为交替路，如Fig.3：3 -> 5 -> 1 -> 7 -> 4 -> 8
        9. 增广路（也称增广轨或交错轨）
        
        如果交替路经过除出发点外的另一个未匹配点，则这条交替路称为增广路，如交替路概念的例子，其途径点8，即为增广路。
        
        由增广路的定义推出下面三个结论（设P为一条增广路）：
        1). P的路径长度一定为奇数，第一条边和最后一条边都是未匹配的边（根据要途经已匹配的边和要经过另一个未匹配点，这个结论可以理解成第一个点和最后一个点都是未匹配点，可以在Fig.3上的增广路观察到）
        
        2).对增广路径编号，所有奇数的边都不在M中，偶数边在M中。
        
        3). P经过取反操作可以得到一个更大的匹配图，比原来匹配多一个（取反操作即，未匹配的边变成匹配的边，匹配的边变成未匹配的边，这个结论根据结论1).和交替路概念可得该结论）
        
        4). 当且仅当不存在关于图M的增广路径，则图M为最大匹配。所以匈牙利算法的思路就是：不停找增广路，并增加匹配的个数。
        
        二、匈牙利算法概述
        
        匈牙利算法主要用来解决两个问题：求二分图的最大匹配数和最小点覆盖数。
        1. 最大匹配问题
        
        看完上面讲的，相信读者会觉得云里雾里的：这是啥？这有啥用？所以我们把这张二分图稍微做点手脚，变成下面这样：
        现在Boys和Girls分别是两个点集，里面的点分别是男生和女生，边表示他们之间存在“暧昧关系"。
        最大匹配问题相当于，假如你是红娘，可以撮合任何一对有暧昧关系的男女，那么你最多能成全多少对情侣？（数学表述：在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边）
        现在我们来看看匈牙利算法是怎么运作的：
        我们从B1看起（男女平等，从女生这边看起也是可以的），他与G2有暧昧，那我们就先暂时把他与G2连接（注意这时只是你作为一个红娘在纸上构想，你没有真正行动，此时的安排都是暂时的）。
        来看B2，B2也喜欢G2，这时G2已经“名花有主”了（虽然只是我们设想的），那怎么办呢？我们倒回去看G2目前被安排的男友，是B1，B1有没有别的选项呢？有，G4，G4还没有被安排，那我们就给B1安排上G4。
        然后B3，B3直接配上G1就好了，这没什么问题。至于B4，他只钟情于G4，G4目前配的是B1。B1除了G4还可以选G2，但是呢，如果B1选了G2，G2的原配B2就没得选了。我们绕了一大圈，发现B4只能注定单身了，可怜。（其实从来没被考虑过的G3更可怜）
        这就是匈牙利算法的流程，至于具体实现，我们来看看代码：
        int M, N; //M, N分别表示左、右侧集合的元素数量 int Map[MAXM][MAXN]; //邻接矩阵存图 int p[MAXN]; //记录当前右侧元素所对应的左侧元素 bool vis[MAXN]; //记录右侧元素是否已被访问过 bool match(int i) { for (int j = 1; j vis[j] = true; //记录状态为访问过 if (p[j] == 0 || match(p[j])) //如果暂无匹配，或者原来匹配的左侧元素可以找到新的匹配 { p[j] = i; //当前左侧元素成为当前右侧元素的新匹配 return true; //返回匹配成功 } } return false; //循环结束，仍未找到匹配，返回匹配失败 } int Hungarian() { int cnt = 0; for (int i = 1; i memset(vis, 0, sizeof(vis)); //重置vis数组 if (match(i)) cnt++; } return cnt; } if(顶点Yj不在增广路径上){ 将Yj加入增广路 if(Yj是未覆盖点或者Yj的原匹配点Xk能找到增广路径){ //扩充集合M 将Yj的匹配点改为Xi; 返回true } } 返回false } int edge[COUNT][COUNT]; bool on_path[COUNT]; int path[COUNT]; int max_match; }GRAPH_MATCH; void outputRes(int *path){ for (int i = 0 ; i printf("%d****%d\n",i,*(path+i)); //Yj在前 Xi在后 } } void clearOnPathSign(GRAPH_MATCH *match){ for (int j = 0 ; j on_path[yj] = true; if (match->path[yj] == -1 || FindAugPath(match,match->path[yj])) { // 如果是yi是一个未覆盖点或者和yi相连的xk点能找到增广路经， match->path[yj] = xi; //yj点加入路径; return true; } } } return false; } void Hungary_match(GRAPH_MATCH *match){ for (int xi = 0; xi FindAugPath(match, xi); clearOnPathSign(match); } outputRes(match-path); } int main() { GRAPH_MATCH *graph = (GRAPH_MATCH *)malloc(sizeof(GRAPH_MATCH)); for (int i = 0 ; i edge[i][j] = 0; } } graph->edge[0][1] = 1; graph->edge[0][0] = 1; graph->edge[1][1] = 1; graph->edge[1][2] = 1; graph->edge[2][1] = 1; graph->edge[2][0] = 1; graph->edge[3][2] = 1; for (int j = 0 ; j path[j] = -1; graph->on_path[j] = false; } Hungary_match(graph); }