【数据结构】堆的实现，堆排序以及TOP-K问题

目录

1.堆的概念及结构

2.堆的实现

2.1初始化堆

2.2销毁堆

2.3取堆顶元素

2.4返回堆的大小

2.5判断是否为空

2.6打印堆

2.7插入元素

2.8堆的向上调整

2.9弹出元素

2.10堆的向下调整

3. 建堆时间复杂度

4. 堆的应用

4.1 堆排序

4.2 TOP-K问题

1.堆的概念及结构

堆是一种数据结构，它是由一组元素组成的，并按照一定的规则进行排序和访问。堆可以看作是一个完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点（对于最大堆）或小于或等于其子节点（对于最小堆）。堆通常用来解决具有优先级的问题，例如找到最大或最小的元素。

 堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

  

  2.堆的实现

  这里写的是小根堆，大根堆可以在小根堆的基础上稍作修改。下面是堆要实现的一些接口函数：

  //初始化堆
  void HeapInit(HP* php);
  //销毁堆
  void HeapDestory(HP* php);
  //插入元素
  void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
  //堆向上调整算法
  void AdjustUp(HP* php, int x);
  //弹出堆顶元素
  void HeapPop(HP* php);
  //堆向下调整算法
  void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int x);
  //取堆顶元素
  HPDataType HeapTop(HP* php);
  //返回堆的大小
  int HeapSize(HP* php);
  //判断是否为空
  bool HeapEmpty(HP* php);
  //打印堆
  void HeapPrint(HP* php);

  堆的定义：

  typedef int HPDataType;
  typedef struct Heap
  {
  	HPDataType* a;
  	int size;
  	int capacity;
  }HP;

  对于一些简单的接口函数，我们就不详细介绍了，在堆中，我们主要要学习的是向上调整算法和向下调整算法。这两个函数分别在插入元素和弹出元素的时候会调用。

  2.1初始化堆

  void HeapInit(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	php->a = NULL;
  	php->size = php->capacity = 0;
  }

  2.2销毁堆

  void HeapDestory(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	free(php->a);
  	php->a = NULL;
  	php->size = php->capacity = 0;
  }

  2.3取堆顶元素

  HPDataType HeapTop(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	return php->a[0];
  }

  2.4返回堆的大小

  int HeapSize(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	return php->size;
  }

  2.5判断是否为空

  bool HeapEmpty(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	return php->size == 0;
  }

  2.6打印堆

  void HeapPrint(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	for (int i = 0; i size; i++)
  	{
  		printf("%d ", php->a[i]);
  	}
  	printf("\n");
  }

  2.7插入元素

  向堆中插入一个元素，我们可以将这个元素插入到堆的尾部，因为堆的实际存储结构是一个数组，我们可以将元素放到数组末尾，但如果仅仅是插入到数组末尾的话，会将堆的结构给破环，我们还需要调用一个向上调整的函数，来调整各个节点间的大小关系。

  在插入之前，需要判断堆的容量是否足够，如果堆的容量已满，需要扩容，这里每次扩容实在原来的基础上扩2倍。

  void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
  {
  	assert(php);
  	if (php->size == php->capacity)
  	{
  		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
  		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
  		if (tmp == NULL)
  		{
  			printf("realloc fail\n");
  			exit(-1);
  		}
  		php->a = tmp;
  		php->capacity = newCapacity;
  	}
  	php->a[php->size] = x;
  	AdjustUp(php->a, php->size);//向上调整
  	php->size++;
  }

  2.8堆的向上调整

  在上面插入元素的过程中，我们已经使用了堆的向上调整算法，下面，我们来看看怎么实现这个向上调整算法吧：

  

  先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

  图示过程：

  

  void AdjustUp(HPDataType* a, int x)
  {
  	int child = x;
  	int parent = (child - 1) / 2;
  	while (child > 0)
  	{
  		if (a[child]  
  代码分析： 
   
  初始化变量child为节点x，parent为其父节点的索引，也即 (child - 1) / 2。
  进入一个循环，该循环会一直执行直到节点x上浮到合适的位置或者到达堆顶。
  在循环中，判断节点x的值是否小于其父节点的值，若成立则交换两者的值。
  若节点x的值不小于父节点的值，则跳出循环，因为此时堆的性质已满足。
  更新child和parent的值，将child更新为parent，parent更新为其父节点的索引，也即 (child - 1) / 2。
  重复步骤3-5，直到节点x的值大于或等于其父节点的值，或者到达堆顶。
  2.9弹出元素
   
  弹出元素就是将堆顶的元素给删除，但我们不能直接进行删除，这样会将堆的结构给破坏，正确的方法是先将堆顶的元素和最后的元素进行交换，这样保证的首元素的左子树和右子树依然是堆的形态，然后将size自减，最后调用一个堆的向下调整函数。
   
   
  void HeapPop(HP* php)
  {
  	assert(php);
  	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
  	php->size--;
  	AdjustDwon(php->a, php->size, 0);
  }
   
  2.10堆的向下调整
   
  堆的向下调整：每次将父节点和左右孩子的较小值进行交换（小根堆），不断地更新父节点的孩子节点的值。
   
   
  void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int x)
  {
  	int parent = x;
  	int child = parent * 2 + 1;
  	while (child  
  初始化变量parent为节点x，child为其左子节点的索引，也即 parent * 2 + 1。
  进入一个循环，该循环会一直执行直到节点x下沉到合适的位置或者没有子节点。
  在循环中，首先判断节点x是否有右子节点，并且右子节点的值小于左子节点的值，如果成立则将child更新为右子节点的索引。
  接着判断节点x的值是否大于其子节点的值，若成立则交换两者的值。
  若节点x的值不大于子节点的值，则跳出循环，因为此时堆的性质已满足。
  更新parent和child的值，将parent更新为child，child更新为parent的左子节点的索引，也即 parent * 2 + 1。
  重复步骤3-6，直到节点x的值小于或等于其子节点的值，或者没有子节点。
  3. 建堆时间复杂度
   
  因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
   
  向下调整：
   
   
  因此：向下调整建堆的时间复杂度为O(N)。
   
  向上调整：
   
   
   因此：向上调整建堆的时间复杂度为N*logN;
   
   
   
  4. 堆的应用
   
  4.1 堆排序
   
  利用堆排序数组并打印出来：
   
  void testHeapSort()
  {
  	HP hp;
  	HeapInit(&hp);
  	int a[] = { 1,4,7,5,10,2,8,9,3,6 };
  	for (int i = 0; i  
  输出结果：
   
   
   但是，使用这种方法是不是有点复杂了呢？我们要进行堆排序，还得先写一个堆的数据结构，当然并不是这样的，我们可以将代码进行修改，在原数组上进行建堆：
   
  思路：
   
  对于在原数组上进行建堆，我们可以使用两种方式：
   
  第一种是向上建堆，向上建堆的时间复杂度是 O(N*logN)，我们不推荐使用这种方法。
   
  第二种是向下建堆，它的时间复杂度是O(N），它的效率比向上建堆要高。我们推荐使用向下建堆。
   
  还有一个比较让人难以理解的一点是：如果要进行升序，我们要建大堆，如果要进行降序，我们要建小堆。
   
   
  void swap(int* x, int* y)
  {
  	int tmp = *x;
  	*x = *y;
  	*y = tmp;
  }
  void HeapSort(int* a, int n)
  {
  	//从倒数第一个非叶子节点开始调
  	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
  	{
  		AdjustDwon(a, n, i);//向下调整建堆
  	}
  	int end = n - 1;
  	while (end > 0)
  	{
  		swap(&a[0], &a[end]);
  		AdjustDwon(a, end, 0);//向下调整[0,end]的元素
  		--end;
  	}
  }
  int main()
  {
  	int a[] = { 1,4,7,5,10,2,8,9,3,6 };
  	int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
  	HeapSort(a,n);//堆排序
  	for (int i = 0; i  
   
  4.2 TOP-K问题
   
  TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
   
   
   
  比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
   
   
  对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
   
  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   
  

  • 前k个最大的元素，则建小堆
  • 前k个最小的元素，则建大堆

    2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

    将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

    实际应用：在10000000个随机数中找出前十个最大的数字

    void AdjustDwon(int* a, int size, int x)
    {
    	int parent = x;
    	int child = parent * 2 + 1;
    	while (child = 0; i--)
    	{
    		AdjustDwon(KMaxHeap, k, i);
    	}
    	//依次比较a数组中剩余的元素
    	for (int i = k; i  KMaxHeap[0])
    		{
    			KMaxHeap[0] = a[i];
    		}
    		AdjustDwon(KMaxHeap, k, 0);
    	}
    	//打印
    	for (int i = 0; i