文章目录
- 一、概述
- 1.1 VRP 问题
- 1.2 CVRP 问题
- 1.3 VRPTW 问题
- 二、VRPTW 的一般模型
- 三、Python 调用 Gurobi 建模求解
- 3.1 Solomn 数据集
- 3.2 完整代码
- 3.3 运行结果展示
- 3.3.1 测试案例：c101.txt
- 3.3.2 测试案例：r101.txt
一、概述
1.1 VRP 问题
车辆路径规划问题(Vehicle Routing Problem，VRP)一般指的是：对一系列发货点和收货点，组织调用一定的车辆，安排适当的行车路线，使车辆有序地通过它们，在满足指定的约束条件下（例如：货物的需求量与发货量，交发货时间，车辆容量限制，行驶里程限制，行驶时间限制等），力争实现一定的目标（如车辆空驶总里程最短，运输总费用最低，车辆按一定时间到达，使用的车辆数最小等）。
下图给出了一个简单的VRP的例子
1.2 CVRP 问题
最基本的VRP问题叫做带容量约束的车辆路径规划问题（Capacitated Vehicle Routing Problem，CVRP）。在CVRP中，需要考虑每辆车的容量约束、车辆的路径约束和装载量约束
1.3 VRPTW 问题
为了考虑配送时间要求，带时间窗的车辆路径规划问题（Vehicle Routing Problem with Time Window，VRPTW）应运而生。
VRPTW 不仅考虑CVRP的所有约束，还需要考虑时间窗约束，也就是每个顾客对应一个时间窗 [ e i , l i ] [e_i,l_i] [ei,li]，其中 e i e_i ei 和 l i l_i li 分别代表该点的最早到达时间和最晚到达时间。顾客点 i ∈ V i \in V i∈V 的需求必须要在其时间窗内被送达
VRPTW 已经被证明是 NP-hard 问题，其求解复杂度随着问题规模的增加而急剧增加，求解较为困难。到目前为止，求解 VRPTW 的比较高效的精确算法是分支定价算法和分支定价切割算法。
二、VRPTW 的一般模型
VRPTW 可以建模为一个混合整数规划问题，在给出完整数学模型之前，先引入下面的决策变量：
x i j k = { 1 ，在最优解中，弧 ( i , j ) 被车辆 k 选中 0 ，其他 s i k = 车辆 k 到达 i 的时间 模型中涉及的其他参数为 : t i j 表示车辆在弧 ( i , j ) 上的行驶时间 M 为一个足够大的正数 {x_{ijk}}=\begin{cases} 1\text{，在最优解中，弧}\left( i,j \right) \text{被车辆}k\text{选中}\\ 0\text{，其他}\\ \end{cases} \\ {s_{ik}}=\text{车辆}k\text{到达}i\text{的时间} \\ \text{模型中涉及的其他参数为}: \\ {t_{ij}}\text{表示车辆在弧}\left( i,j \right) \text{上的行驶时间} \\ M\text{为一个足够大的正数} xijk={1，在最优解中，弧(i,j)被车辆k选中0，其他sik=车辆k到达i的时间模型中涉及的其他参数为:tij表示车辆在弧(i,j)上的行驶时间M为一个足够大的正数
关于 M M M 的取值，实际上可以直接取非常大的正数，但是为了提高求解效率，拉紧约束。我们可以采用下面的取值方法：
M = m a x { b i + t i j − a j } , ∀ ( i , j ) ∈ A M=max\{b_i+t_{ij}-a_j\} , \forall (i,j)\in A M=max{bi+tij−aj},∀(i,j)∈A
综合上面引出的决策变量，并参考文献（Desaulniers et al.，2006），给出的 VRPTW 的标准模型如下：
min ∑ k ∈ K ∑ i ∈ V ∑ j ∈ V c i j x i j k s . t . ∑ k ∈ K ∑ j ∈ V x i j k = 1 , ∀ i ∈ C ∑ j ∈ V x 0 j k = 1 , ∀ k ∈ K ∑ i ∈ V x i h k − ∑ j ∈ V x h j k = 0 , ∀ h ∈ C , ∀ k ∈ K ∑ i ∈ V x i , n + 1 , k = 1 , ∀ k ∈ K ∑ i ∈ C q i ∑ j ∈ V x i j k ⩽ Q , ∀ k ∈ K s i k + t i j − M ( 1 − x i j k ) ⩽ s j k , ∀ ( i , j ) ∈ A , ∀ k ∈ K e i ⩽ s i k ⩽ l i , ∀ i ∈ V , ∀ k ∈ K x i j k ∈ { 0 , 1 } , ∀ ( i , j ) ∈ A , ∀ k ∈ K \min \sum_{k\in K}{\sum_{i\in V}{\sum_{j\in V}{{c_{ij}}{x_{ijk}}}}} \\ s.t. \sum_{k\in K}{\sum_{j\in V}{{x_{ijk}}=1 , \forall i\in C}} \\ \,\, \sum_{j\in V}{{x_{0jk}}=1 , \forall k\in K} \\ \,\, \sum_{i\in V}{{x_{ihk}}-\sum_{j\in V}{{x_{hjk}}=0 , \forall h\in C,\forall k\in K}} \\ \,\, \sum_{i\in V}{x_{i,n+1,k}=1 , \forall k\in K} \\ \,\, \sum_{i\in C}{q_i\sum_{j\in V}{{x_{ijk}} \leqslant Q , \forall k\in K}} \\ \,\, {s_{ik}}+{t_{ij}}-M\left( 1-{x_{ijk}} \right) \leqslant {s_{jk}}\,\,, \forall \left( i,j \right) \in A,\forall k\in K \\ \,\, e_i\leqslant {s_{ik}}\leqslant l_i\,\,, \forall i\in V,\forall k\in K \\ \,\, {x_{ijk}}\in \left\{ 0,1 \right\} \,\,, \forall \left( i,j \right) \in A,\forall k\in K mink∈K∑i∈V∑j∈V∑cijxijks.t.k∈K∑j∈V∑xijk=1,∀i∈Cj∈V∑x0jk=1,∀k∈Ki∈V∑xihk−j∈V∑xhjk=0,∀h∈C,∀k∈Ki∈V∑xi,n+1,k=1,∀k∈Ki∈C∑qij∈V∑xijk⩽Q,∀k∈Ksik+tij−M(1−xijk)⩽sjk,∀(i,j)∈A,∀k∈Kei⩽sik⩽li,∀i∈V,∀k∈Kxijk∈{0,1},∀(i,j)∈A,∀k∈K
其中， Q Q Q 为车容量， q i q_i qi 为第 i i i 个顾客的需求：
- 目标函数是为了最小化所有车辆的总行驶成本（距离）
- 约束1~4保证了每辆车必须从仓库出发，经过一个点就离开那个点，最终返回仓库
- 约束5为车辆的容量约束
- 约束6~7是时间窗约束，保证了车辆到达每个顾客点的时间均在时间窗内，点n+1是点o的一个备份，是为了方便实现。
三、Python 调用 Gurobi 建模求解
3.1 Solomn 数据集
Solomn 数据集下载地址
3.2 完整代码
注意，在下面代码中，将弧 i i i 到弧 j j j 所需的时间 t i j t_{ij} tij 和 成本 c i j c_{ij} cij 都当作了弧 i i i 到弧 j j j 所需的距离来看待
# -*- coding: utf-8 -*-# # Author: WSKH # Blog: wskh0929.blog.csdn.net # Time: 2023/2/8 11:14 # Description: Python 调用 Gurobi 建模求解 VRPTW 问题 import time import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from gurobipy import * class Data: customerNum = 0 nodeNum = 0 vehicleNum = 0 capacity = 0 corX = [] corY = [] demand = [] serviceTime = [] readyTime = [] dueTime = [] distanceMatrix = [[]] def readData(path, customerNum): data = Data() data.customerNum = customerNum if customerNum is not None: data.nodeNum = customerNum + 2 with open(path, 'r') as f: lines = f.readlines() count = 0 for line in lines: count += 1 if count == 5: line = line[:-1] s = re.split(r" +", line) data.vehicleNum = int(s[1]) data.capacity = float(s[2]) elif count >= 10 and (customerNum is None or count 0.5: solution.X[int(split_arr[1])][int(split_arr[2])][int(split_arr[3])] = m.x elif split_arr[0] == 'S' and m.x > 0.5: solution.S[int(split_arr[1])][int(split_arr[2])] = m.x for k in range(data.vehicleNum): i = 0 subRoute = [] subRoute.append(i) finish = False while not finish: for j in range(data.nodeNum): if solution.X[i][j][k] > 0.5: subRoute.append(j) i = j if j == data.nodeNum - 1: finish = True if len(subRoute) >= 3: subRoute[-1] = 0 solution.routes.append(subRoute) solution.routeNum += 1 return solution def plot_solution(solution, customer_num): plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.title(f"{data_type} : {customer_num} Customers") plt.scatter(data.corX[0], data.corY[0], c='blue', alpha=1, marker=',', linewidths=3, label='depot') # 起点 plt.scatter(data.corX[1:-1], data.corY[1:-1], c='black', alpha=1, marker='o', linewidths=3, label='customer') # 普通站点 for k in range(solution.routeNum): for i in range(len(solution.routes[k]) - 1): a = solution.routes[k][i] b = solution.routes[k][i + 1] x = [data.corX[a], data.corX[b]] y = [data.corY[a], data.corY[b]] plt.plot(x, y, 'k', linewidth=1) plt.grid(False) plt.legend(loc='best') plt.show() def print_solution(solution, data): for index, subRoute in enumerate(solution.routes): distance = 0 load = 0 for i in range(len(subRoute) - 1): distance += data.distanceMatrix[subRoute[i]][subRoute[i + 1]] load += data.demand[subRoute[i]] print(f"Route-{index + 1} : {subRoute} , distance: {distance} , load: {load}") def solve(data): # 声明模型 model = Model("VRPTW") # 模型设置 # 关闭输出 model.setParam('OutputFlag', 0) # 定义变量 X = [[[[] for _ in range(data.vehicleNum)] for _ in range(data.nodeNum)] for _ in range(data.nodeNum)] S = [[[] for _ in range(data.vehicleNum)] for _ in range(data.nodeNum)] for i in range(data.nodeNum): for k in range(data.vehicleNum): S[i][k] = model.addVar(data.readyTime[i], data.dueTime[i], vtype=GRB.CONTINUOUS, name=f'S_{i}_{k}') for j in range(data.nodeNum): X[i][j][k] = model.addVar(vtype=GRB.BINARY, name=f"X_{i}_{j}_{k}") # 目标函数 obj = LinExpr(0) for i in range(data.nodeNum): for j in range(data.nodeNum): if i != j: for k in range(data.vehicleNum): obj.addTerms(data.distanceMatrix[i][j], X[i][j][k]) model.setObjective(obj, GRB.MINIMIZE) # 约束1：车辆只能从一个点到另一个点 for i in range(1, data.nodeNum - 1): expr = LinExpr(0) for j in range(data.nodeNum): if i != j: for k in range(data.vehicleNum): if i != 0 and i != data.nodeNum - 1: expr.addTerms(1, X[i][j][k]) model.addConstr(expr == 1) # 约束2：车辆必须从仓库出发 for k in range(data.vehicleNum): expr = LinExpr(0) for j in range(1, data.nodeNum): expr.addTerms(1, X[0][j][k]) model.addConstr(expr == 1) # 约束3：车辆经过一个点就必须离开一个点 for k in range(data.vehicleNum): for h in range(1, data.nodeNum - 1): expr1 = LinExpr(0) expr2 = LinExpr(0) for i in range(data.nodeNum): if h != i: expr1.addTerms(1, X[i][h][k]) for j in range(data.nodeNum): if h != j: expr2.addTerms(1, X[h][j][k]) model.addConstr(expr1 == expr2) # 约束4：车辆最终返回仓库 for k in range(data.vehicleNum): expr = LinExpr(0) for i in range(data.nodeNum - 1): expr.addTerms(1, X[i][data.nodeNum - 1][k]) model.addConstr(expr == 1) # 约束5：车辆容量约束 for k in range(data.vehicleNum): expr = LinExpr(0) for i in range(1, data.nodeNum - 1): for j in range(data.nodeNum): if i != 0 and i != data.nodeNum - 1 and i != j: expr.addTerms(data.demand[i], X[i][j][k]) model.addConstr(expr
